\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{常微分方程第1周作业（1.1-1.2）}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

\abstract{
两个实际例子（落体运动、条形磁铁的磁力线）。
1.1: 1(1), 2(1)。 
1.2: 1(1), 2(1)。
}

\noindent\rule{\textwidth}{0.4pt}

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  落体运动：见DEBE目录。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  条形磁铁的磁力线：见DEBE目录。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item (1.1)\#1(1)
验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解：
$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x},\,\,\, y''-4y=0$. 

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 求导可得 $y'=2C_1e^{2x}-2C_2e^{-2x}$.
\item 再求导可得 $y''=4C_1e^{2x}+4C_2e^{-2x}$.
\item 验证可得 $y''-4y=0$. 
\end{enumerate}

}

\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item (1.1)\#2(1)
求下列初值问题的解：
$y'''=x, \, y(0)=a_0,y'(0)=a_1, y''(0)=a_2$. 

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 两边积分可得 $y''=\frac{1}{2}x^2+C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item 代入初值条件 $y''(0)=a_2$ 可得 $y''=\frac{1}{2}x^2+a_2$. 
\item 继续积分，可得 $y'=\frac{1}{6}x^3+a_2x+C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item 代入初值条件 $y'(0)=a_1$ 可得 $y'=\frac{1}{6}x^3+a_2x+a_1$. 
\item 继续积分，可得 $y=\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{2}a_2x^2+a_1x+C$,  其中 $C$ 是任意常数。 
\item 代入初值条件 $y(0)=a_0$ 可得 $y=\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{2}a_2x^2+a_1x+a_0$. 
\end{enumerate}

}

\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item (1.2)\#1(1)
作出如下微分方程的线素场：
$y'=\frac{xy}{|xy|}$. 

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 方程右边的定义范围是$Oxy$平面去掉$x,y$坐标轴。
\item 对四个象限分别讨论，可得在第一、三象限，$y'=1$, 在第二、四象限，$y'=-1$.
\item 因此在第一、三象限，线素都是倾斜角为45度的短折线。
\item 在第二、四象限，线素都是倾斜角为135度的短折线。
\end{enumerate}

}

\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item (1.2)\#2(1)
利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：
$y'=1+xy$.

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 当$x\ge 0, y\ge 0$时，选取一些点，例如$(x,y),x,y=0,1,2$. 
\item 代入微分方程 $y'=f(x,y)=1+xy$ 的右端，计算 $f(x,y)$ 在这些点的函数值，
可得在第一象限的线素场的各个斜率，见表格(\ref{table-1}).

\begin{table}[ht!]\centering
\caption{线素场的一些折线的斜率}\vspace{0.3cm}
\begin{tabular}{|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|} \hline 
$f(x,y)$ & $x=0$ & $x=1$ & $x=2$ \\ \hline 
$y=0$ & 1 & 1 & 1 \\ \hline  
$y=1$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline  
$y=2$ & 1 & 3 & 5 \\ \hline  
\end{tabular}
\label{table-1}
\end{table}

\item 然后以这些数值为斜率，在相应的位置画一条短折线。
\item 从这些短折线可以看出，在第一象限，积分曲线是类似指数增长的。
\item 类似地，可以分析在其它三个象限的积分曲线是增函数还是减函数。
\item 在$xy=-1$定义的双曲线上，线素的斜率为零。
\item 在第二、四象限，曲线$xy=-1$将其分成两部分。
\item 在其中的一部分中，线素的斜率是负的，在另一部分中，斜率是正的。

\end{enumerate}

}

\vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{enumerate}

\end{document}

